Trabajo de una fuerza

Se definen primero los términos desplazamiento y trabajo en la forma que se utilizan en mecánica.

Considere una partícula que se mueve de un punto A a un punto cercano A (figura 13.1). Si r denota el vector de posición correspondiente al punto A, el vector que une a A y a A puede denotarse mediante la diferencial dr; el vector dr se denomina el desplazamiento de la partícula. Suponga ahora que una fuerza F actúa sobre la partícula. El trabajo de la fuerza F correspondiente al desplazamiento dr se define como la cantidad.

obtenida al formar el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento dr. Denotando por medio de F y ds, respectivamente, las magnitudes de la fuerza y el desplazamiento, y mediante  el ángulo formado por F y dr, y recordando la definición de producto escalar de dos vectores (sección 3.9), se escribe

dU=F ds cos a

Utilizando la fórmula (3.30), es posible expresar también el trabajo dU en términos de las componentes rectangulares de la fuerza y del desplazamiento:

dU= Fx Dx + Fy dy+ F= dz

Al ser una cantidad escalar, el trabajo tiene magnitud y signo, pero no dirección. También se vio que el trabajo debe expresarse en unidades que se obtienen al multiplicar unidades de longitud por unidades de fuerza. Así, si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos, el trabajo debe expresarse en ft lb o in. lb. Si se emplean unidades del SI, el trabajo se expresará en N m. La unidad de trabajo N m se denomina como joule (J).† Al recordar los factores de conversión indicados en la sección 12.4, se escribe

Se deduce de (13.1) que el trabajo dU es positivo si el ángulo es agudo y negativo si  es obtuso. Son tres los casos de interés particular. Si la fuerza F tiene la misma dirección que dr, y el trabajo dU se reduce a F ds. Si F tiene dirección opuesta a la de dr, el trabajo es dU =  - F ds. Si F es perpendicular a dr, el trabajo dU es cero.

El trabajo de F durante un desplazamiento finito de la partícula de A1 a A2 (figura 13.2a) se obtiene al integrar la ecuación (13.1) a lo largo de la trayectoria que describe la partícula. Este trabajo, denotado por,

Al utilizar la expresión alternativa (13.1_) para el trabajo elemental dU y observar que F cos   representa la componente tangencial Ft de la fuerza, es posible expresar el trabajo como

donde la variable de integración s mide la distancia recorrida por la partícula a lo largo de la trayectoria. El trabajo se representa por medio del área bajo la curva que se obtiene al graficar Ft = F cos  contra s (figura 13.2b).

Cuando la fuerza F se define por medio de sus componentes rectangulares, la expresión (13.1) puede utilizarse para el trabajo elemental.

En ese caso se escribe

donde la integración se va a realizar a lo largo de la trayectoria descrita por la partícula.

Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilíneo.

Cuando una partícula que se mueve en una línea recta se somete a una fuerza F de magnitud constante y dirección constante (figura 13.3), la fórmula (13.2

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) produce

Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad

El trabajo del peso W de un cuerpo, esto es, de la fuerza que la gravedad ejerce sobre ese cuerpo, se obtiene al sustituir las componentes de W en (13.1_) y (13.2_). Al elegir el eje y hacia arriba (figura 13.4), se tiene

Fx = 0, Fy = - W y Fz = 0, y se escribe

 Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte o muelle.

Considere un cuerpo A unido a un punto fijo B por medio de un resorte; se supone que este último no está deformado cuando el cuerpo se encuentra en A0 (figura 13.5a). La evidencia experimental muestra que la magnitud de la fuerza F ejercida por el resorte sobre un cuerpo A es proporcional a la deformación x del resorte medida a partir de la posición A0. Se tiene

donde k es la constante del resorte, expresada en N/m o kN/m si se usan unidades del SI y en lb/ft o lb/in. si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos.

El trabajo de la fuerza F ejercido por el resorte durante un desplazamiento finito del cuerpo de A1(x =x1) a A2(x = x2) se obtiene al escribir

Debe tenerse cuidado de expresar k y x en unidades consistentes. Por ejemplo, si se utilizan unidades de uso común en Estados Unidos, k debe expresarse en lb/ft y x en pies, o k en lb/in. y x en pulgadas; en el primer caso, el trabajo se obtiene en ft . lb, en el segundo, en in.  lb. Adviértase que el trabajo de la fuerza F ejercida por el resorte sobre el cuerpo es positivo cuando x2 ≤ x1, esto es, cuando el resorte está regresando a la posición no deformada

           

La fórmula (13.6_) suele ser más conveniente que la (13.6), pues son menores las posibilidades de confundir las unidades que se utilizan.

Trabajo realizado por  una fuerza gravitacional

En la sección 12.10 se vio que dos partículas de masa M y m a una distancia r una de la otra se atraen entre sí con fuerzas iguales y opuestas F y F, dirigidas a lo largo de la línea que une a las partículas y de magnitud

Suponga que la partícula M ocupa una posición fija O mientras la partícula

m se mueve a lo largo de la trayectoria indicada en la figura 13.6. El trabajo de la fuerza F ejercida sobre la partícula m durante un desplazamiento infinitesimal de la partícula de A a A

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 puede obtenerse al multiplicar la magnitud F de la fuerza por la componente radial dr del desplazamiento.

Puesto que F está dirigida hacia O, el trabajo es negativo y se escribe

donde M es la masa de la Tierra. Es posible utilizar esta fórmula para determinar el trabajo de la fuerza ejercida por la Tierra sobre un cuerpo de masa m a una distancia r del centro de la misma, cuando r

Energía cinética de una partícula. Principio del trabajo y energía.

Considere una partícula de masa m que se somete a una fuerza F y que se mueve a lo largo de una trayectoria que es rectilínea o curva (figura 13.7). Al expresar la segunda ley de Newton en términos de las componentes tangenciales de la fuerza y de la aceleración (véase la sección 12.5), se escribe

donde v es la velocidad de la partícula. Al recordar de la sección 11.9 que v=  ds_dt, se obtiene

Aplicaciones del principio del trabajo y la energía

La aplicación del principio del trabajo y la energía simplifica en forma considerable la solución de muchos problemas que implican fuerzas, desplazamientos y velocidades. Considere, por ejemplo, el péndulo OA compuesto por una plomada A de peso W unida a una cuerda de longitud l (figura 13.8a). El péndulo se suelta sin velocidad inicial desde una posición horizontal OA1 y se deja que oscile en un plano vertical.

Se desea determinar la rapidez de la plomada cuando pasa por A2, directamente abajo de O.

Primero se determina el trabajo realizado durante el desplazamiento desde A1 hasta A2 por las fuerzas que actúan sobre la plomada. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de esta última, indicando todas las fuerzas reales que actúan sobre ella, esto es, el peso W y la fuerza P ejercida por la cuerda (figura 13.8b). (Un vector de inercia no es una fuerza real y no debe incluirse en el diagrama de cuerpo libre.) Adviértase que la fuerza P no realiza trabajo, ya que es normal a la trayectoria; la única fuerza que efectúa trabajo es consecuentemente el peso W. El trabajo de W se obtiene al multiplicar su magnitud W por el desplazamiento vertical l (sección 13.2); en vista de que el desplazamiento es hacia abajo, el trabajo es positivo. Por lo tanto, se escribe U1y2 =Wl.

1. Con el fin de encontrar la rapidez en A2, no hay necesidad de determinar la aceleración en una posición intermedia A y de integrar la expresión que se obtuvo de A1 a A2.

2. Todas las cantidades implicadas son escalares y pueden sumarse de manera directa, sin utilizar las componentes x y y.

3. Las fuerzas que no realizan trabajo se eliminan de la solución del problema.

Lo que es una ventaja en un problema, sin embargo, quizá sea una desventaja en otro. Es evidente, por ejemplo, que no es posible utilizar el método del trabajo y la energía para determinar de manera directa una aceleración. Igualmente es evidente que al determinar una fuerza que es normal a la trayectoria de la partícula, una fuerza que no realiza trabajo, el método del trabajo y la energía debe complementarse mediante la aplicación directa de la segunda ley de Newton. Supóngase, por ejemplo, que interesa determinar la tensión en la cuerda del péndulo de la figura 13.8a cuando la plomada pasa por A2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la plomada en esa posición (figura 13.9) y se expresa la segunda ley de Newton en términos de las componentes

 

donde T representa la suma aritmética de las energías cinéticas de las partículas que se consideran (todos los términos son positivos) y U1y2 es el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas, incluyendo las fuerzas de acción y reacción que ejercen las partículas entre sí. Sin embargo, en problemas que implican cuerpos conectados mediante cuerdas o eslabones inextensibles, se cancela el trabajo de las fuerzas ejercidas por una cuerda o eslabón determinado sobre los dos cuerpos que conecta, ya que los puntos de aplicación de estas fuerzas se mueven a través de distancias iguales (véase el problema resuelto 13.2).†

Puesto que las fuerzas de fricción tienen una dirección opuesta a la del desplazamiento del cuerpo sobre el cual actúan, el trabajo de las fuerzas de fricción siempre es negativo. Este trabajo representa la energía disipada en calor y siempre da por resultado una disminución de la energía cinética del cuerpo que se considera (véase el problema resuelto 13.3).

Potencia y eficiencia

La potencia se define como la tasa en el tiempo a la cual se efectúa el trabajo. En la selección de un motor o máquina, la potencia es un criterio mucho más importante que la cantidad real de trabajo que se lleva a cabo. Es posible utilizar un motor pequeño o una gran planta eléctrica para realizar una cantidad determinada de trabajo; sin embargo, el motor pequeño quizá requiera un mes para efectuar el trabajo que la planta

Debido a las pérdidas de energía resultado de la fricción, el trabajo de salida siempre es más pequeño que el trabajo de entrada y, en consecuencia, la salida de potencia es siempre menor que la entrada de potencia.

La eficiencia mecánica de una máquina es entonces siempre menor que 1.

Cuando se usa una máquina para transformar la energía mecánica en energía eléctrica, o la energía térmica en energía mecánica, su eficiencia o rendimiento total puede obtenerse de la fórmula (13.15). La eficiencia total de una máquina es siempre menor que 1; proporciona una medida del total de las diversas pérdidas de energía implicadas (pérdidas de energía eléctrica o térmica, así como pérdidas por fricción).Advierta que es necesario expresar la salida de potencia y la entrada de potencia en las mismas unidades antes de utilizar la fórmula (13.15).