Trabajo de una fuerza
Se
definen primero los términos desplazamiento y trabajo en la forma que se
utilizan en mecánica.
Considere
una partícula que se mueve de un punto A a un punto cercano A (figura 13.1). Si
r denota el vector de posición correspondiente al punto A, el vector que une a
A y a A puede denotarse mediante la diferencial dr; el vector dr se
denomina el desplazamiento de la partícula. Suponga ahora que una fuerza F actúa sobre la partícula. El trabajo
de la fuerza F correspondiente al
desplazamiento dr se define como la
cantidad.
obtenida
al formar el producto escalar de la fuerza
F y el desplazamiento dr.
Denotando por medio de F y ds, respectivamente, las magnitudes de
la fuerza y el desplazamiento, y mediante el ángulo formado por F y dr, y recordando la
definición de producto escalar de dos vectores (sección 3.9), se escribe
dU=F ds cos a
Utilizando la fórmula (3.30), es posible expresar también el trabajo dU
en términos de las componentes rectangulares de la fuerza y del desplazamiento:
dU= Fx Dx + Fy dy+ F= dz
Al
ser una cantidad escalar, el trabajo tiene magnitud y signo, pero no dirección.
También se vio que el trabajo debe expresarse en unidades que se obtienen al
multiplicar unidades de longitud por unidades de fuerza. Así, si se recurre a
las unidades de uso común en Estados Unidos, el trabajo debe expresarse en ft
lb o in. lb. Si se emplean unidades del SI, el trabajo se expresará en N m. La
unidad de trabajo N m se denomina como joule (J).† Al recordar los factores de
conversión indicados en la sección 12.4, se escribe
Se
deduce de (13.1) que el trabajo dU es positivo si el ángulo es agudo y negativo si es obtuso. Son tres los
casos de interés particular. Si la fuerza F tiene la misma dirección que
dr, y el trabajo dU se reduce a F ds. Si F
tiene dirección opuesta a la de dr, el trabajo es dU
= - F ds. Si F es
perpendicular a dr, el trabajo dU es cero.
El
trabajo de F durante un desplazamiento finito de la partícula de A1
a A2 (figura 13.2a) se obtiene al integrar la ecuación (13.1) a
lo largo de la trayectoria que describe la partícula. Este trabajo, denotado por,
Al
utilizar la expresión alternativa (13.1_) para el trabajo elemental dU y
observar que F cos 
representa la componente
tangencial Ft de la fuerza, es posible expresar el trabajo
como
donde la variable de integración s mide la distancia
recorrida por la partícula a lo largo de la trayectoria. El trabajo 
se
representa por medio del área bajo la curva que se obtiene al graficar Ft =
F cos contra
s (figura 13.2b).
Cuando la fuerza F se define por medio de
sus componentes rectangulares, la expresión (13.1) puede utilizarse para el
trabajo elemental.
En ese caso se escribe
donde la integración se va a realizar a lo largo de
la trayectoria descrita por la partícula.
Trabajo de
una fuerza constante en movimiento rectilíneo.
Cuando una partícula que se mueve en una línea
recta se somete a una fuerza F de
magnitud constante y dirección constante (figura 13.3), la fórmula (13.2
) produce
Trabajo
realizado por la fuerza de la gravedad
El
trabajo del peso W de un cuerpo, esto es, de la fuerza que la gravedad ejerce
sobre ese cuerpo, se obtiene al sustituir las componentes de W en
(13.1_) y (13.2_). Al elegir el eje y hacia arriba (figura 13.4), se
tiene
Fx = 0,
Fy = - W y Fz = 0, y se escribe
Trabajo
realizado por la fuerza que ejerce un resorte o muelle.
Considere
un cuerpo A unido a un punto fijo B por medio de un resorte; se
supone que este último no está deformado cuando el cuerpo se encuentra en A0
(figura 13.5a). La evidencia experimental muestra que la magnitud de la
fuerza F ejercida por el resorte sobre un cuerpo A es
proporcional a la deformación x del resorte medida a partir de la
posición A0. Se tiene
donde k es la constante del resorte, expresada en
N/m o kN/m si se usan unidades del SI y en lb/ft o lb/in. si se recurre a las
unidades de uso común en Estados Unidos.
El
trabajo de la fuerza F ejercido por el resorte durante un desplazamiento
finito del cuerpo de A1(x =x1) a A2(x = x2)
se obtiene al escribir
Debe
tenerse cuidado de expresar k y x en unidades consistentes. Por ejemplo,
si se utilizan unidades de uso común en Estados Unidos, k debe
expresarse en lb/ft y x en pies, o k en lb/in. y x en
pulgadas; en el primer caso, el trabajo se obtiene en ft . lb, en el segundo,
en in. lb. Adviértase que el trabajo de
la fuerza F ejercida por el resorte sobre el cuerpo es positivo cuando
x2 ≤ x1, esto es, cuando el resorte está regresando
a la posición no deformada
La
fórmula (13.6_) suele ser más conveniente que la (13.6), pues son menores las
posibilidades de confundir las unidades que se utilizan.
Trabajo realizado por una fuerza gravitacional
En
la sección 12.10 se vio que dos partículas de masa M y m a una distancia r una
de la otra se atraen entre sí con fuerzas iguales y opuestas F y F, dirigidas a
lo largo de la línea que une a las partículas y de magnitud
Suponga
que la partícula M ocupa una posición fija O mientras la
partícula
m se
mueve a lo largo de la trayectoria indicada en la figura 13.6. El trabajo de la
fuerza F ejercida sobre la partícula m durante un desplazamiento infinitesimal
de la partícula de A a A
puede obtenerse al
multiplicar la magnitud F de la fuerza por la componente radial dr del desplazamiento.
Puesto
que F está dirigida hacia O, el trabajo es negativo y se escribe
donde
M es la masa de la Tierra. Es posible utilizar esta fórmula para determinar
el trabajo de la fuerza ejercida por la Tierra sobre un cuerpo de masa m a
una distancia r del centro de la misma, cuando r
Energía cinética de una
partícula. Principio del trabajo y energía.
Considere
una partícula de masa m que se somete a una fuerza F y que se
mueve a lo largo de una trayectoria que es rectilínea o curva (figura 13.7). Al
expresar la segunda ley de Newton en términos de las componentes tangenciales
de la fuerza y de la aceleración (véase la sección 12.5), se escribe
donde
v es la velocidad de la partícula. Al recordar de la sección 11.9 que v=
ds_dt, se obtiene
Aplicaciones del principio
del trabajo y la energía
La
aplicación del principio del trabajo y la energía simplifica en forma considerable
la solución de muchos problemas que implican fuerzas, desplazamientos y
velocidades. Considere, por ejemplo, el péndulo OA compuesto por una
plomada A de peso W unida a una cuerda de longitud l (figura
13.8a). El péndulo se suelta sin velocidad inicial desde una
posición horizontal OA1 y se deja que oscile en un plano vertical.
Se
desea determinar la rapidez de la plomada cuando pasa por A2,
directamente abajo de O.
Primero
se determina el trabajo realizado durante el desplazamiento desde A1
hasta A2 por las fuerzas que actúan sobre la plomada. Se dibuja un
diagrama de cuerpo libre de esta última, indicando todas las fuerzas reales que
actúan sobre ella, esto es, el peso W y la fuerza P ejercida por
la cuerda (figura 13.8b). (Un vector de inercia no es una fuerza
real y no debe incluirse en el diagrama de cuerpo libre.) Adviértase que
la fuerza P no realiza trabajo, ya que es normal a la trayectoria; la
única fuerza que efectúa trabajo es consecuentemente el peso W. El
trabajo de W se obtiene al multiplicar su magnitud W por el desplazamiento
vertical l (sección 13.2); en vista de que el desplazamiento es hacia
abajo, el trabajo es positivo. Por lo tanto, se escribe U1y2 =Wl.
1. Con el fin de encontrar la rapidez en A2, no hay
necesidad de determinar la aceleración en una posición intermedia A y de
integrar la expresión que se obtuvo de A1 a A2.
2. Todas las
cantidades implicadas son escalares y pueden sumarse de manera directa, sin
utilizar las componentes x y y.
3. Las fuerzas que
no realizan trabajo se eliminan de la solución del problema.
Lo
que es una ventaja en un problema, sin embargo, quizá sea una desventaja en
otro. Es evidente, por ejemplo, que no es posible utilizar el método del
trabajo y la energía para determinar de manera directa una aceleración.
Igualmente es evidente que al determinar una fuerza que es normal a la
trayectoria de la partícula, una fuerza que no realiza trabajo, el método del
trabajo y la energía debe complementarse mediante la aplicación directa de la
segunda ley de Newton. Supóngase, por ejemplo, que interesa determinar la
tensión en la cuerda del péndulo de la figura 13.8a cuando la plomada
pasa por A2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la plomada en esa
posición (figura 13.9) y se expresa la segunda ley de Newton en términos de las
componentes
donde
T representa la suma aritmética de las energías cinéticas de las partículas
que se consideran (todos los términos son positivos) y U1y2 es el
trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas, incluyendo
las fuerzas de acción y reacción que ejercen las partículas entre sí. Sin
embargo, en problemas que implican cuerpos conectados mediante cuerdas o
eslabones inextensibles, se cancela el trabajo de las fuerzas ejercidas por
una cuerda o eslabón determinado sobre los dos cuerpos que conecta, ya que los
puntos de aplicación de estas fuerzas se mueven a través de distancias iguales
(véase el problema resuelto 13.2).†
Puesto
que las fuerzas de fricción tienen una dirección opuesta a la del
desplazamiento del cuerpo sobre el cual actúan, el trabajo de las
fuerzas de fricción siempre es negativo. Este trabajo representa la energía
disipada en calor y siempre da por resultado una disminución de la energía cinética
del cuerpo que se considera (véase el problema resuelto 13.3).
Potencia y eficiencia
La potencia
se define como la tasa en el tiempo a la cual se efectúa el trabajo. En la
selección de un motor o máquina, la potencia es un criterio mucho más
importante que la cantidad real de trabajo que se lleva a cabo. Es posible
utilizar un motor pequeño o una gran planta eléctrica para realizar una
cantidad determinada de trabajo; sin embargo, el motor pequeño quizá requiera
un mes para efectuar el trabajo que la planta
Debido
a las pérdidas de energía resultado de la fricción, el trabajo de salida
siempre es más pequeño que el trabajo de entrada y, en consecuencia, la salida
de potencia es siempre menor que la entrada de potencia.
La
eficiencia mecánica de una máquina es entonces siempre menor que 1.
Cuando
se usa una máquina para transformar la energía mecánica en energía eléctrica, o
la energía térmica en energía mecánica, su eficiencia o rendimiento
total puede obtenerse de la fórmula (13.15). La eficiencia total de una
máquina es siempre menor que 1; proporciona una medida del total de las
diversas pérdidas de energía implicadas (pérdidas de energía eléctrica o
térmica, así como pérdidas por fricción).Advierta que es necesario expresar la
salida de potencia y la entrada de potencia en las mismas unidades antes de
utilizar la fórmula (13.15).
